address LogoPowered by Pegasus

微積分入門

目次

準備

常に準備するもの

シラバス

面積(小学校レベル)

円の面積をグラフ用紙を使って求める
5mm方眼紙
1mm方眼紙
内測度と外測度
測度: 長さ、面積、体積などを総称した概念であるとして説明する
極限: 方眼紙の目小さいときに真の面積に近づくであろう事を予感させる。

グラフを書く

y=f(x) の意味
y=x^2
y=x^2(1-x)
関数とは(変な関数も紹介する)

注意点

グラフの書き方: グラフの書き方が殆どなっていないので、以下の点に注意する。

古代の積分法(アルキメデス)

y=x^2
の区間[0,1]の面積
最初に予測させる。
予測の検証:
まず区間を5分割して内測度と外測度を計算させる。
5分割内測度: (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)/5^3
5分割外測度: (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 4^2)/5^3
アルキメデスの考え方
S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2

n S_n S_n/n^3
2
4
8
16

S_n/n^3
が 1/3 に近づく事の理由を考えさせる
公式: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
を教えるか? -> 公式として教え、単に n のいくつかを検算させる
1 + 2 + 3 + \cdots + n = n(n+1)/2
は簡単。代数的にも幾何学的にも。これは教える。
ビラミッドの体積との関係。ブロックの積み上げとして理解させる。近似的な直感のレベルで。
ここで述べた方法の欠点を理解させる。(難しいこと、一般化しにくいこと)

微分法 (グラフの傾き)

y=x^2
x=1 での傾き
最初にグラフから予想させる
傾きを求める基本的なアイデア
テーブルを作る f(x)=x^2, x=1

h f(x+h) f(x) f(x+h) - f(x) (f(x+h) - f(x))/h
0.1
0.01
0.001
h 2x 2x + h
0.1
0.01
0.001

任意の x での微分
f(x)=x^2 の場合、微分が 2x となる事を理解させる。

同様に
f(x)=x^2(1-x) の場合には、微分が 2x-3x^2 となる事を理解させる。

線形性を理解させる(項別微分、定数係数の扱い)。「線形」と言う言葉は使わない。

導関数の書き方
f'(x)
df/dx

f(x) f'(x)
1 0
x 1
x^2 2x
x^3 3x^2
x^n nx^{n-1}

を教えておく。

練習問題1
f(x)=x^2 の時
x=0.5
x=2.0
の各々の点での f'(x) の計算。f'(x)=2x を使いこなせればよし。

練習問題2

微分法 (最大値を求める)

y=x^2(1-x)
の最大値
試行錯誤法によって予測させる。

微分法による解決

高次の微分記号の書き方: f^{(n)}(x) あるいは d^nf/dx^n
計算の練習問題

速さと進行距離 (ニュートンの発見)

速さと進行距離の関係
縦軸: 速さ
横軸: 時間
v(t): 一定の場合
v(t): 階段関数の場合
v(t): 階段関数でない場合(直線、曲線)
進行距離は面積に一致する事を予感させる。

自由落下の問題: 落下の加速度 g、落下速度 gt、落下距離 (1/2)gt^2 の式
(改めて教える事はない。記憶を呼び覚ます程度)
落下距離から微分して得られる事を注意しておく。

縦軸: 進行距離
横軸: 時間
逆に進行距離から速さを割出す(昔の速度違反の取り締まり)
微分の考え方である事を理解させる。

微分と積分との関係 ( Leibniz の発見 )

y=x^2
の区間[0,1]の面積

積分が微分の逆演算である事を理解させる。

積分記号
\int_a^b f(x) dx

積分演算の線形性(項別積分、定数は外へ) 「線形」と言う言葉は使わない。

積分変数の任意性

微分積分法の基本公式
F'(x) = f(x)
とするとき
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

f(x)<0 の部分の扱い

練習問題
\int_0^1 x^2(1-x) dx

指数関数と対数関数(大きな数、小さな数)

指数関数と対数関数のグローバルな視点を持たせる。
2^n n:整数
の計算を理解させる。
ついでに「ねずみ講」の話 5^n
10^n をどうするか? (教えるか教えないか?) -> 教える
a^n (a>1) が巨大な数になりやすい事を理解させる
逆に
a^n (a<1) が非常に小さな数になりやすい事を理解させる

対数: 指数関数の逆関数として教える。

大きな数字や小さな数をグラフで扱う道具として
対数グラフを教えるか? -> 教える。対数グラフを使った身近な具体的な例が欲しい。

指数関数と対数関数(連続性)

y=2^x, y=3^x, y=e^x
の3つをテーマとする。eは傾き1で定義する。
x=k/16 (k=0,..,16)
の計算
またこれが分かったときに
y=2^x x=3.25 などの計算ができる事を理解させる。

ここでの教育目標は y=a^{x} で x が整数でない場合にも計算が
できる事の理解。それでも x:実数 にはほど遠い。
「連続」と言う言葉で逃げざるを得ない。
グラフを逃げの道具にする?

指数関数の族を
y = e^{ax}
として教えるかどうか?

指数関数と対数関数の微積分

y = e^{ax}
を教えた場合には合成関数の微分問題が発生するが
一般式 (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x) のレベルで教えるか
それとも
y = e^{ax}
についてだけ個別に計算するか?

積分学のまとめ(リーマン積分)

面積(あるいは積分)の定義
微分積分法の基本公式
リーマン積分の欠点
「面積」として満たしてほしい性質を持っていない事
別の考え方(ルベーグ積分)が存在する事

練習問題

参考図書

成績評価

平常点と試験