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2進数と10進数

目次

2進数

2つの文字(普通は0と1)だけを使用して数を表す方法。
10進数では
	1 + 1 = 2
であるが、2進数では2が使えないので繰り上げが発生し、
	1 + 1 = 10
となる。(「じゅう」と呼ばない、「いちぜろ」あるいは「いちまる」)
0から始めて、1つづつ増やしていくと次のようになる。
	0  1  10  11  100  101  110  111
	1000 1001  1010  1011  1100  1101  1110  1111
2進数による四則演算

2進数の体系ではたった2つの文字(0 と 1)しか現れないので、四則演算は非常に簡単である。10進数ではかけ算の表(九九の表)を覚えるのに苦労したであろうが、2進数ではかけ算の表は覚えるのに値しないほど簡単である。

10進数との関係

2進数 10進数
1 1 = 20
10 2 = 21
100 4 = 22
1000 8 = 23
10000 16 = 24
100000 32 = 25
1000000 64 = 26
10000000 128 = 27
100000000 256 = 28
1000000000 512 = 29
10000000000 1024 = 210
2進数による数の表現を10進数による表現と区別するために
101(2) のように、右下に小さく(2)を付加する。(この書き方は最近の中学生の教科書に見られる。最近では中学で2進数が教えられている!)
注意: テキストでは (101)2 のように全体を ( ) で括り、右下に小さく 2 を付加している。

例題1. 2進数の 11010 は10進数ではいくらか?
答1
11010 = 10000 + 1000 + 10 故

2進数 10進数
10000 16
1000 8
10 2
よって、10進数では 16 + 8 + 2 = 26 である。
答2
1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×20 = 16 + 8 + 2 = 26

例題2. 10進数の 315 は2進数ではいくらか?
答1.
315 = 256 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 故に2進数では
100000000 + 100000 + 10000 + 1000 + 10 + 1 = 100111011 答2

315 を 2 で割り続ける。最後には商が 0 になる。わり算の余りを記録しておいて、求まった余りを下から順に書き出す。

問題1. 2進数の 1101 は10進数ではいくらか?
問題2. 10進数の 75 は2進数ではいくらか?
問題3. 以下の6枚のカードは、1から60までの数を記憶して貰い、その数が提示された6枚のカードに含まれているか否かを回答して貰い、それによって記憶して貰った数を当てるゲームに使用される。例えば、カード 1,2,4 に対して "NO" の返事を貰い、カード 3,5,6 に対して "YES" の返事を貰えば、"YES" のカードの右下隅の数字 4 と 16 と 32 を足した 52 が答えである。この遊びでは2進数が巧みに利用されている。各々のカードの数字はどのような規則で書かれているか考えよ。

問題4.

でもたぶん旨くいかないのである。だって、おじいちゃんは、もう 60 を越えている!
100 まで処理できるようにするには、どうすればよいでしょうか?

面白い工夫 問題4に関するメールを貰いました。問題の趣旨からは外れていますが、考えると言う事は楽しいですね。

０３ｍ３１５５ 藤田恵里

この前先生の所に持っていったのが私です。
１００まで処理するにはについてですが、私がやったやり方でやると１２１まで処理でき
ます。さらに、応用して使うとどんな数でも当てる事ができる事に気づきました。
それらを紹介しまっす。
知りたい数をｎ（ｎは整数）とする。
①１≦ｎ≦６０は表で処理できる。
②６１≦ｎ≦１２１
例：「８０」の場合、偶数なので２で割ると４０で４０があるカードは（４）と（６）
なので、カードの右下を足して８＋３２＝４０、これを２倍すると８０がわかる。
「９３」の場合、奇数なので１を引いて９３−１＝９２、これを２で割って４６、
４６があるカードは（２）（３）（４）（６）なので２＋４＋８＋３２＝４６、こ
これを２倍して＋１すると９３がわかる。
☆奇数で１引くのは２で割った時に小数値にさせない為。
③１２１≦ｎの時
知りたい数をｎ≦６０となるまで２で割ってもらう。この時、奇数が出てきたらその都
度−１をする。ｎ≦６０になったら（１）〜（６）のカードで探し右下を足す。その数
を今までとは逆に計算していく。

例：３００の場合

３００÷２で１５０、１５０÷２で７５、７５は奇数なので−１、７４÷２で３７。３７
は（１）（３）（６）のカードにあるので１＋４＋３２＝３７、これを逆に計算してい
く。
３７×２で７４、７４＋１で７５、７５×２で１５０、１５０×２で３００これで３００
がわかる。